Algebra Beispiele

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} - 3 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} - 3$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{2 x}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - 3 = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - 3 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 3) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x - 3}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{(x - 3) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{(x - 3) x} + \frac{x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) x$ um.

$\frac{2 x \cdot x}{x (x - 3)} + \frac{x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x \cdot x + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.5.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$\frac{2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (x - 1) + 3 (x - 1)}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Schritt 2.6

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x (x - 3)}{x (x - 3)}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} - 3 \cdot \frac{x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x (x - 3)}{x (x - 3)}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} + \frac{- 3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 1) (2 x + 3) - 3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Multipliziere $(x - 1) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x + 3) - 1 (2 x + 3) - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 1 (2 x + 3) - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x - 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x^{2} + 9 x}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.6

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 + 9 x}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.9.7

Addiere $x$ und $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 3}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 10 x - 3}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 10 x) - 3}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 10 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 10 x) - 3}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 10 x) - 1 (3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 10 x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 10 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.15

Schreibe $- (x^{2} - 10 x + 3)$ als $- 1 (x^{2} - 10 x + 3)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 10 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 2.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 10 x + 3}{x (x - 3)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $88$ als $2^{2} \cdot 22$ um.

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $88$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $88$ als $2^{2} \cdot 22$ um.

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Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $88$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Schritt 4.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 5 + \sqrt{22}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $12$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $88$ als $2^{2} \cdot 22$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $88$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Schritt 4.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 5 - \sqrt{22}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 5 + \sqrt{22}, 5 - \sqrt{22}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 5 + \sqrt{22}, 5 - \sqrt{22}$

Dezimalform:

$x = 9.69041575 \dots, 0.30958424 \dots$