Algebra Beispiele

$243^{k + 2} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Schritt 1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$243^{k + 2} \cdot 9^{2 k - 1} - 9 = 0$

Schritt 2

Multipliziere $243^{k + 2} \cdot 9^{2 k - 1}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $243$ als $3^{5}$ um.

${(3^{5})}^{k + 2} \cdot 9^{2 k - 1} - 9 = 0$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{5})}^{k + 2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 (k + 2)} \cdot 9^{2 k - 1} - 9 = 0$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3^{5 k + 5 \cdot 2} \cdot 9^{2 k - 1} - 9 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$3^{5 k + 10} \cdot 9^{2 k - 1} - 9 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3^{5 k + 10} \cdot {(3^{2})}^{2 k - 1} - 9 = 0$

Schritt 2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2})}^{2 k - 1}$ .

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Schritt 2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 k + 10} \cdot 3^{2 (2 k - 1)} - 9 = 0$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3^{5 k + 10} \cdot 3^{2 (2 k) + 2 \cdot - 1} - 9 = 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3^{5 k + 10} \cdot 3^{4 k + 2 \cdot - 1} - 9 = 0$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3^{5 k + 10} \cdot 3^{4 k - 2} - 9 = 0$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{5 k + 10 + 4 k - 2} - 9 = 0$

Schritt 2.6

Addiere $5 k$ und $4 k$ .

$3^{9 k + 10 - 2} - 9 = 0$

Schritt 2.7

Subtrahiere $2$ von $10$ .

$3^{9 k + 8} - 9 = 0$

Schritt 3

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{9 k + 8} = 9$

Schritt 4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{9 k + 8} = 3^{2}$

Schritt 5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$9 k + 8 = 2$

Schritt 6

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 6.1

Bringe alle Terme, die nicht $k$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 k = 2 - 8$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $8$ von $2$ .

$9 k = - 6$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $9 k = - 6$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 k = - 6$ durch $9$ .

$\frac{9 k}{9} = \frac{- 6}{9}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 k}{9} = \frac{- 6}{9}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{- 6}{9}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $9$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$k = \frac{3 (- 2)}{9}$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$k = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$k = \frac{- 2}{3}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{2}{3}$