Algebra Beispiele

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} = \frac{- 8}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{- 8}{x^{2} - 16}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 16} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 16}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 4^{2}} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - - \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $- - \frac{8}{(x + 4) (x - 4)}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + 1 \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{8}{(x + 4) (x - 4)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{x + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{x}{x - 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 4) (x - 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 4}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 4}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 4) (x + 4)$ um.

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 4 + x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 4 + x (x + 4) + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4 + x \cdot x + x \cdot 4 + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - 4 + x^{2} + x \cdot 4 + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.7.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x - 4 + x^{2} + 4 x + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.8

Addiere $x$ und $4 x$ .

$\frac{5 x - 4 + x^{2} + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.9

Addiere $- 4$ und $8$ .

$\frac{5 x + x^{2} + 4}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$\frac{5 u + u^{2} + 4}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere $5 u + u^{2} + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.10.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 2.10.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(u + 1) (u + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x - 4} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$