Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{2 - 3 x}}{\sqrt{4 x}} = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sqrt{2 - 3 x}}{\sqrt{4 x}} - 2 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\sqrt{2 - 3 x}}{\sqrt{4 x}} - 2$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 - 3 x}}{\sqrt{2^{2} x}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{2 - 3 x}}{2 \sqrt{x}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 - 3 x}}{2 \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - 3 x}}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 - 3 x}}{2 \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Bewege $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.4

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.7

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 x^{1}} - 2 = 0$

Schritt 2.1.3.7.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{2 - 3 x} \sqrt{x}}{2 x} - 2 = 0$

Schritt 2.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(2 - 3 x) x}}{2 x} - 2 = 0$

Schritt 2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{\sqrt{(2 - 3 x) x}}{2 x} - 2 \cdot \frac{2 x}{2 x} = 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{\sqrt{(2 - 3 x) x}}{2 x} + \frac{- 2 (2 x)}{2 x} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{(2 - 3 x) x} - 2 (2 x)}{2 x} = 0$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 - 3 x) x} - 4 x}{2 x} = 0$

Schritt 2.6

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt{(2 - 3 x) x} - 4 x}{2 x}$ um.

$\frac{\sqrt{x (2 - 3 x)} - 4 x}{2 x} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$\sqrt{x (2 - 3 x)} - 4 x = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x (2 - 3 x)} = 4 x$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x (2 - 3 x)}}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x (2 - 3 x)}$ als ${(x (2 - 3 x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x (2 - 3 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${({(x (2 - 3 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x (2 - 3 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x (2 - 3 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x (2 - 3 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x (2 - 3 x))}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(x \cdot 2 + x (- 3 x))}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.3

Stelle um.

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Schritt 4.3.2.1.1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

${(2 \cdot x + x (- 3 x))}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(2 \cdot x - 3 x \cdot x)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Bewege $x$ .

${(2 x - 3 (x \cdot x))}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(2 x - 3 x^{2})}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Vereinfache.

$2 x - 3 x^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache ${(4 x)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$2 x - 3 x^{2} = 4^{2} x^{2}$

Schritt 4.3.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 x - 3 x^{2} = 16 x^{2}$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Subtrahiere $16 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 3 x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Schritt 4.4.1.2

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $- 3 x^{2}$ .

$2 x - 19 x^{2} = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$2 u - 19 u^{2} = 0$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $u$ aus $2 u - 19 u^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u$ heraus.

$u \cdot 2 - 19 u^{2} = 0$

Schritt 4.4.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- 19 u^{2}$ heraus.

$u \cdot 2 + u (- 19 u) = 0$

Schritt 4.4.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 2 + u (- 19 u)$ heraus.

$u (2 - 19 u) = 0$

Schritt 4.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (2 - 19 x) = 0$

Schritt 4.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 - 19 x = 0$

Schritt 4.4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.4.5

Setze $2 - 19 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.5.1

Setze $2 - 19 x$ gleich $0$ .

$2 - 19 x = 0$

Schritt 4.4.5.2

Löse $2 - 19 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 19 x = - 2$

Schritt 4.4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 19 x = - 2$ durch $- 19$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 19 x = - 2$ durch $- 19$ .

$\frac{- 19 x}{- 19} = \frac{- 2}{- 19}$

Schritt 4.4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 19$ .

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Schritt 4.4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 19 x}{- 19} = \frac{- 2}{- 19}$

Schritt 4.4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 19}$

Schritt 4.4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{2}{19}$

Schritt 4.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 - 19 x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{2}{19}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\sqrt{x (2 - 3 x)} - 4 x}{2 x} = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{2}{19}$