Algebra Beispiele

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x} + 1 = 0$

Schritt 1

Stelle die Terme um.

$- \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 2

Um $- \frac{4}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 x}{x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 x + 1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 x + 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 x + 1 + x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 8

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 9.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 9.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 9.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 9.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 9.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + \sqrt{3}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 9.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 9.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 9.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - \sqrt{3}$

Schritt 9.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$