Algebra Beispiele

$5 x^{2} + x - \frac{1}{5} = 0$

Schritt 1

Addiere $\frac{1}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + x = \frac{1}{5}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} + x = \frac{1}{5}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} + x = \frac{1}{5}$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{x}{5} = \frac{\frac{1}{5}}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{x}{5} = \frac{\frac{1}{5}}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} = \frac{\frac{1}{5}}{5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x^{2} + \frac{x}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} = \frac{1}{5 \cdot 5}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} = \frac{1}{25}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{x}{5} + {(\frac{1}{10})}^{2} = \frac{1}{25} + {(\frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{10}$ an.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1^{2}}{10^{2}} = \frac{1}{25} + {(\frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{25} + {(\frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{1}{25} + {(\frac{1}{10})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{1}{25} + {(\frac{1}{10})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{10}$ an.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{1}{25} + \frac{1^{2}}{10^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{1}{25} + \frac{1}{10^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{1}{25} + \frac{1}{100}$

Schritt 5.2.1.2

Um $\frac{1}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{1}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{100}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $100$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{25}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{25 \cdot 4} + \frac{1}{100}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4}{100} + \frac{1}{100}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{4 + 1}{100}$

Schritt 5.2.1.4.2

Addiere $4$ und $1$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{5}{100}$

Schritt 5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $100$ .

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Schritt 5.2.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{5 (1)}{100}$

Schritt 5.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $100$ heraus.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 20}$

Schritt 5.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 20}$

Schritt 5.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{100} = \frac{1}{20}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{1}{10})}^{2}$ .

${(x + \frac{1}{10})}^{2} = \frac{1}{20}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{1}{10} = \pm \sqrt{\frac{1}{20}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{20}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{20}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{20}}$ um.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{20}}$

Schritt 7.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{1}{\sqrt{20}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{1}{\sqrt{4 (5)}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{1}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{1}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.2.5.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 7.2.5.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Schritt 7.2.5.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Schritt 7.2.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 7.2.5.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.2.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Schritt 7.2.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x + \frac{1}{10} = \pm \frac{\sqrt{5}}{10}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $\frac{1}{10}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{10} - \frac{1}{10}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{10} - \frac{1}{10}$

Dezimalform:

$x = 0.12360679 \dots, - 0.32360679 \dots$