Algebra Beispiele

${(z^{2} + 4 z)}^{2} + 7 (z^{2} + 4 z) + 12 = 0$

Schritt 1

Es sei $u = z^{2} + 4 z$ . Ersetze $u$ für alle $z^{2} + 4 z$ .

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} + 7 u + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $z^{2} + 4 z$ .

$(z^{2} + 4 z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $z^{2} + 4 z + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 z = 2 \cdot z \cdot 2$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = z$ und $b = 2$ .

$(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 3 = 0$

${(z + 2)}^{2} = 0$

Schritt 7

Setze $z + 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $z + 1$ gleich $0$ .

$z + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 1$

Schritt 8

Setze $z + 3$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $z + 3$ gleich $0$ .

$z + 3 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 3$

Schritt 9

Setze ${(z + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 9.1

Setze ${(z + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(z + 2)}^{2} = 0$

Schritt 9.2

Löse ${(z + 2)}^{2} = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 9.2.1

Setze $z + 2$ gleich $0$ .

$z + 2 = 0$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 2$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$z = - 1, - 3, - 2$