Algebra Beispiele

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 = 6$

Schritt 1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 - 6 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $6$ von $- 2$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Schritt 3

Schreibe ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ als ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ um.

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8 = 0$

Schritt 4

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ und $b = 2$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 2^{2}) = 0$

Schritt 6.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 4) = 0$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Schritt 7

Vereinfache $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ .

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Schritt 7.1

Multipliziere $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.2

Multipliziere ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ mit ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.2.1

Bewege ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.2.1.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 (1)}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 7.2.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.3

Multipliziere ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ mit ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.3.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.1.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 \cdot {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Schritt 7.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8$ .

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ von $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ und $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Schritt 7.2.2.3

Subtrahiere $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ von $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Schritt 7.2.2.4

Addiere $0$ und ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Schritt 8

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} = 8$

Schritt 9

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 10.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 10.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 10.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - x - 4)}^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - x - 4 = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache $8^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 10.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.1.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{2} - x - 4 = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 10.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 10.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - x - 4 = 2^{4}$

Schritt 10.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x^{2} - x - 4 = 16$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $16$ von $- 4$ .

$x^{2} - x - 20 = 0$

Schritt 11.3

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 11.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 11.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 11.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 11.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 11.6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 11.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 11.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 4$