Algebra Beispiele

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} = 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$

Schritt 1

Subtrahiere $81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{9}$ an.

$\frac{1^{a + 1}}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $- 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - ({(3^{3})}^{2 - a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{3})}^{2 - a}$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 (2 - a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Schritt 2.1.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 \cdot 2 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Schritt 2.1.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Schritt 2.1.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Schreibe $81$ als $3^{4}$ um.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot {(3^{4})}^{a + 1}) = 0$

Schritt 2.1.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{4})}^{a + 1}$ .

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Schritt 2.1.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 (a + 1)}) = 0$

Schritt 2.1.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4 \cdot 1}) = 0$

Schritt 2.1.3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4}) = 0$

Schritt 2.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{6 - 3 a + 4 a + 4} = 0$

Schritt 2.1.3.6

Addiere $6$ und $4$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{- 3 a + 4 a + 10} = 0$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $- 3 a$ und $4 a$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} = 0$

Schritt 2.2

Um $- 3^{a + 10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} \cdot \frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 3^{a + 10}$ und $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} + \frac{- 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1^{3} - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5.2

Schreibe $3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}$ als ${(3^{a + 4})}^{3}$ um.

$\frac{1^{3} - {(3^{a + 4})}^{3}}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = 3^{a + 4}$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1^{2} + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5.4

Vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $3^{a + 4}$ mit $1$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{a + 4})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{(a + 4) \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{a \cdot 2 + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5.4.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 \cdot a + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 2.5.4.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})}{9^{a + 1}} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8}) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ .

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$1 \cdot 1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $3^{a + 4}$ mit $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $3^{2 a + 8}$ mit $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 1 \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.5

Schreibe $- 1 \cdot 3^{a + 4}$ als $- 3^{a + 4}$ um.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.6

Multipliziere $3^{a + 4}$ mit $3^{a + 4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Bewege $3^{a + 4}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - (3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4}) - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4 + a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.6.3

Addiere $a$ und $a$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 4 + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.6.4

Addiere $4$ und $4$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Schritt 4.1.2.1.7

Multipliziere $3^{a + 4}$ mit $3^{2 a + 8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1.7.1

Bewege $3^{2 a + 8}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - (3^{2 a + 8} \cdot 3^{a + 4}) = 0$

Schritt 4.1.2.1.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8 + a + 4} = 0$

Schritt 4.1.2.1.7.3

Addiere $2 a$ und $a$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 8 + 4} = 0$

Schritt 4.1.2.1.7.4

Addiere $8$ und $4$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Schritt 4.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $3^{a + 4}$ von $3^{a + 4}$ .

$1 + 0 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Schritt 4.1.2.2.3

Subtrahiere $3^{2 a + 8}$ von $3^{2 a + 8}$ .

$1 + 0 - 3^{3 a + 12} = 0$

Schritt 4.1.2.2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 3^{3 a + 12} = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3^{3 a + 12} = - 1$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3^{3 a + 12} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3^{3 a + 12} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- 3^{3 a + 12}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{3^{3 a + 12}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $3^{3 a + 12}$ durch $1$ .

$3^{3 a + 12} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$3^{3 a + 12} = 1$

Schritt 4.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{3 a + 12}) = \ln (1)$

Schritt 4.5

Zerlege $\ln (3^{3 a + 12})$ durch Herausziehen von $3 a + 12$ aus dem Logarithmus.

$(3 a + 12) \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 4.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 4.7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = 0$

Schritt 4.8

Subtrahiere $12 \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$

Schritt 4.9

Teile jeden Ausdruck in $3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ durch $3 \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Teile jeden Ausdruck in $3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ durch $3 \ln (3)$ .

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Schritt 4.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Schritt 4.9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Schritt 4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 4.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Schritt 4.9.2.2.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Schritt 4.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 4.9.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 \ln (3)$ heraus.

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Schritt 4.9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (3)$ heraus.

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Schritt 4.9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Schritt 4.9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 4.9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 4.9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 4.9.3.2.2

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$a = - 4$