Algebra Beispiele

$4 x^{4} - 73 x^{2} + 144 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 {(x^{2})}^{2} - 73 x^{2} + 144 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 u^{2} - 73 u + 144 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 144 = 576$ und deren Summe gleich $b = - 73$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 73$ aus $- 73 u$ heraus.

$4 u^{2} - 73 u + 144 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 73$ um als $- 9$ plus $- 64$

$4 u^{2} + (- 9 - 64) u + 144 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 9 u - 64 u + 144 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 9 u) - 64 u + 144 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 9) - 16 (4 u - 9) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u - 16) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 9) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 5

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$({(2 x)}^{2} - 9) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$({(2 x)}^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 8

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 11

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 12

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 12.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 12.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 13

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 14

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 3) (2 x - 3) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, - 4, 4$