Algebra Beispiele

$4 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x^{2}} = 0$

Schritt 1

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x} - \frac{5}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 2

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{x}{x \cdot x} - \frac{5}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x}{x \cdot x} - \frac{5}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x}{x \cdot x} - \frac{5}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x}{x^{1 + 1}} - \frac{5}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{x}{x^{2}} - \frac{5}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x - 5}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 5

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- x - 5}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x - 5 + 4 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{4 x^{2} - x - 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 7.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} - (x) - 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 7.2.2

Schreibe $- 1$ um als $4$ plus $- 5$

$\frac{4 x^{2} + (4 - 5) x - 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 x - 5 x - 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 7.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(4 x^{2} + 4 x) - 5 x - 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 7.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{x^{2}} = 0$

Schritt 7.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Schritt 8

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 1) (4 x - 5) = 0$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Schritt 9.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9.3

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.3.1

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Schritt 9.3.2

Löse $4 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5$

Schritt 9.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 9.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 9.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 9.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (4 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{5}{4}$