Algebra Beispiele

$9 a^{4} - 37 a^{2} + 4 = 0$

Schritt 1

Schreibe $a^{4}$ als ${(a^{2})}^{2}$ um.

$9 {(a^{2})}^{2} - 37 a^{2} + 4 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = a^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $a^{2}$ .

$9 u^{2} - 37 u + 4 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 4 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 37$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 37$ aus $- 37 u$ heraus.

$9 u^{2} - 37 u + 4 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 37$ um als $- 1$ plus $- 36$

$9 u^{2} + (- 1 - 36) u + 4 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 u^{2} - 1 u - 36 u + 4 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 u^{2} - 1 u) - 36 u + 4 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (9 u - 1) - 4 (9 u - 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 4) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $a^{2}$ .

$(9 a^{2} - 1) (a^{2} - 4) = 0$

Schritt 5

Schreibe $9 a^{2}$ als ${(3 a)}^{2}$ um.

$({(3 a)}^{2} - 1) (a^{2} - 4) = 0$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$({(3 a)}^{2} - 1^{2}) (a^{2} - 4) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 a$ und $b = 1$ .

$(3 a + 1) (3 a - 1) (a^{2} - 4) = 0$

Schritt 8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(3 a + 1) (3 a - 1) (a^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 2$ .

$(3 a + 1) (3 a - 1) ((a + 2) (a - 2)) = 0$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 a + 1) (3 a - 1) (a + 2) (a - 2) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 a + 1 = 0$

$3 a - 1 = 0$

$a + 2 = 0$

$a - 2 = 0$

Schritt 11

Setze $3 a + 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $3 a + 1$ gleich $0$ .

$3 a + 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $3 a + 1 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 a = - 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 a = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 a = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 a}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 1}{3}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{1}{3}$

Schritt 12

Setze $3 a - 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $3 a - 1$ gleich $0$ .

$3 a - 1 = 0$

Schritt 12.2

Löse $3 a - 1 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 12.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 a = 1$

Schritt 12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 a = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 a = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 a}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 12.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{1}{3}$

Schritt 13

Setze $a + 2$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $a + 2$ gleich $0$ .

$a + 2 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 2$

Schritt 14

Setze $a - 2$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $a - 2$ gleich $0$ .

$a - 2 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 2$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 a + 1) (3 a - 1) (a + 2) (a - 2) = 0$ wahr machen.

$a = - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - 2, 2$