Algebra Beispiele

$8 x^{5} + 10 x^{4} = 4 x^{3} + 5 x^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{3} = 5 x^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $5 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $8 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3}) + 10 x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $10 x^{4}$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3}) + x^{2} (10 x^{2}) - 4 x^{3} - 5 x^{2} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3}) + x^{2} (10 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) - 5 x^{2} = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3}) + x^{2} (10 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (8 x^{3}) + x^{2} (10 x^{2})$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3} + 10 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (8 x^{3} + 10 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (8 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot - 5$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Schritt 3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{2} ((8 x^{3} + 10 x^{2}) - 4 x - 5) = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (2 x^{2} (4 x + 5) - (4 x + 5)) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 5$ .

$x^{2} ((4 x + 5) (2 x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (4 x + 5) (2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x + 5 = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 6

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Schritt 7.2

Löse $4 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 5$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{4}$

Schritt 8

Setze $2 x^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $2 x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $2 x^{2} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 8.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 8.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (4 x + 5) (2 x^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{5}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, - \frac{5}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0, - 1.25, 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 0, - 1 \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$