Algebra Beispiele

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) = \ln (x - 7)$

Schritt 1

Subtrahiere $\ln (x - 7)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x + 2)) - \ln (x - 7) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$(x - 3) (x + 2) = e^{0} (x - 7)$

Schritt 5

Vereinfache $e^{0} (x - 7)$ .

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Schritt 5.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = 1 (x - 7)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x - 7$ mit $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = x - 7$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x - 3) (x + 2) - x = - 7$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $(x - 3) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 2) - 3 (x + 2) - x = - 7$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2) - x = - 7$

Schritt 6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Schritt 6.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Schritt 6.2.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Schritt 6.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 x - 3 x - 6 - x = - 7$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 - x = - 7$

Schritt 6.3

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = - 7$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x = - 7 + 6$

Schritt 7.2

Addiere $- 7$ und $6$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Schritt 8

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Schritt 9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 9.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 10

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 11

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$