Algebra Beispiele

$\frac{8}{9 - a^{2}} \div \frac{4 a^{2} - 4 a - 24}{a^{2} - 6 a + 9}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{8}{9 - a^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{8}{3^{2} - a^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = a$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 3^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 3$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 a^{2} - 4 a - 24$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 a^{2}$ heraus.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) - 4 a - 24}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 a$ heraus.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) + 4 (- a) - 24}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) + 4 (- a) + 4 (- 6)}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2}) + 4 (- a)$ heraus.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2} - a) + 4 (- 6)}$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2} - a) + 4 (- 6)$ heraus.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2} - a - 6)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $a^{2} - a - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 ((a - 3) (a + 2))}$

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a - 3) (a + 2)}$

Schritt 5

Kombinieren.

$\frac{8 {(a - 3)}^{2}}{(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $4$ aus $8 {(a - 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))$ heraus.

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{4 ((3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2)))}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{4 ((3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2)))}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 {(a - 3)}^{2}}{(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a - 3)}^{2}$ und $a - 3$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $a - 3$ aus $2 {(a - 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $a - 3$ aus $(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))$ heraus.

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(a - 3) ((3 + a) (3 - a) (a + 2))}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(a - 3) ((3 + a) (3 - a) (a + 2))}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (a - 3)}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a - 3$ und $3 - a$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $a$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- a) - 3)}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Schritt 8.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{2 (- 1 (- a) - 1 (3))}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- a) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (- a + 3) (a + 2)}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (- a + 3) (a + 2)}$

Schritt 8.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{(3 + a) (a + 2)}$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{(3 + a) (a + 2)}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{(3 + a) (a + 2)}$