Algebra Beispiele

$\frac{27 a^{3} - 1}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $27 a^{3}$ als ${(3 a)}^{3}$ um.

$\frac{{(3 a)}^{3} - 1}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{{(3 a)}^{3} - 1^{3}}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 3 a$ und $b = 1$ .

$\frac{(3 a - 1) ({(3 a)}^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende die Produktregel auf $3 a$ an.

$\frac{(3 a - 1) (3^{2} a^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 1.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $9 a^{2}$ als ${(3 a)}^{2}$ um.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 6 a + 1}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 6 a + 1^{2}}$

Schritt 2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 a = 2 \cdot (3 a) \cdot 1$

Schritt 2.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 2 \cdot (3 a) \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 a$ und $b = 1$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3 a - 1$ aus ${(3 a - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{(3 a - 1) (3 a - 1)}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{(3 a - 1) (3 a - 1)}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 a^{2} + 3 a + 1}{3 a - 1}$