Algebra Beispiele

$x^{8} - 3 x^{4} + 2 = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

${(x^{4})}^{2} - 3 x^{4} + 2 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 3 u + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$(x^{4} - 2) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x^{4} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{4} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 8.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{4} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{4} - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 10

Setze $x^{4} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x^{4} - 2$ gleich $0$ .

$x^{4} - 2 = 0$

Schritt 10.2

Löse $x^{4} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 2$

Schritt 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{2}$

Schritt 10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt[4]{2}$

Schritt 10.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt[4]{2}$

Schritt 10.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Schritt 11

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 11.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 11.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 11.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 11.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 12

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 13

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{4} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}, i, - i, - 1, 1$