Algebra Beispiele

$\frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x (x - 1)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$ mit $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} \cdot \frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{x (x - 1) (\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) (\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 1) \frac{x - 1}{x} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 1) \frac{x - 1}{x} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 1) (x - 1) + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.3

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{- 4}{x - 1}$ in den Zähler.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x (x - 1) \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $x (x - 1)$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + (x - 1) x \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + (x - 1) x \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $x (x - 1)$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + (x - 1) x \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + (x - 1) x \frac{x + 1}{x - 1}}$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Schritt 4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x - 1) (x + 1)$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) + x (x + 1)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $x (x + 1)$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) + (x + 1) x}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x - 1) + (x + 1) x$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1 + x)}$

Schritt 5.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{2 x - 1}$