Algebra Beispiele

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Um $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Um $- \frac{1}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von ${(x + h)}^{2} x^{2}$ um.

$\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = x + h$ .

$\frac{(x + x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(2 x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + h) (x - x - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{(2 x + h) (0 - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ um.

$- \frac{h (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$