Algebra Beispiele

$\frac{6}{x^{2} - 4} + \frac{5}{x + 2} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{5}{x + 2} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{5}{x + 2} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 2

Um $\frac{5}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{5}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{x + 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{5 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 + 5 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{6 + 5 x - 10}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $10$ von $6$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{- 1 (- 2) - x}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{- 1 (- 2) - (x)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{- 1 (- 2 + x)}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{- 1 (x - 2)}$

Schritt 6

Um $\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - 2)}$

Schritt 7

Um $- \frac{5}{- 1 (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{5}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{5}{- 1 (x - 2)}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{5 (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Schritt 8.3

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ um.

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{5 (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Schritt 8.4

Stelle die Faktoren von $- 1 (x - 2) (x + 2)$ um.

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1 - 5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x \cdot - 1 - 4 \cdot - 1 - 5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 5 x - 4 \cdot - 1 - 5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 x + 4 - 5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 x + 4 - 5 x - 5 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{- 5 x + 4 - 5 x - 10}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.6

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$\frac{- 10 x + 4 - 10}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.7

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$\frac{- 10 x - 6}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.8

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x - 6$ heraus.

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Schritt 10.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{2 (- 5 x) - 6}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (- 5 x) + 2 (- 3)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 5 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 (- 5 x - 3)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (- 5 x - 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$- \frac{2 (- (5 x) - 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.3

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$- \frac{2 (- (5 x) - 1 (3))}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (3)$ heraus.

$- \frac{2 (- (5 x + 3))}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.5.1

Schreibe $- (5 x + 3)$ als $- 1 (5 x + 3)$ um.

$- \frac{2 (- 1 (5 x + 3))}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 (5 x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 (5 x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.5.4

Mutltipliziere $\frac{2 (5 x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $1$ .

$\frac{2 (5 x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$