Algebra Beispiele

$\frac{2 a + 5}{a^{2} + 5 a + 4} + \frac{9}{(a + 4) (a^{2} + 4 a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $a^{2} + 5 a + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a^{2} + 4 a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $a^{2} + 4 a + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) ((a + 1) (a + 3))} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $b$ aus $a^{2} b + 7 a b + 12 b$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $b$ aus $a^{2} b$ heraus.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + 7 a b + 12 b}$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $b$ aus $7 a b$ heraus.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + b (7 a) + 12 b}$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $b$ aus $12 b$ heraus.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + b (7 a) + b \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.4

Faktorisiere $b$ aus $b a^{2} + b (7 a)$ heraus.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a^{2} + 7 a) + b \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.5

Faktorisiere $b$ aus $b (a^{2} + 7 a) + b \cdot 12$ heraus.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a^{2} + 7 a + 12)}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $a^{2} + 7 a + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b ((a + 3) (a + 4))}$

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)}$ mit $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)}$ mit $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$ mit $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - (\frac{a}{(a + 3) (a + 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$ mit $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 3) (a + 4) (a + 1)}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren von $(a + 4) (a + 1) (a + 3)$ um.

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 3) (a + 4) (a + 1)}$

Schritt 2.6

Stelle die Faktoren von $(a + 3) (a + 4) (a + 1)$ um.

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 a + 5) (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $(2 a + 5) (a + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (a + 3) + 5 (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a \cdot a + 2 a \cdot 3 + 5 (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a \cdot a + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 (a \cdot a) + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 a + 15 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $6 a$ und $5 a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a \cdot a - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - (a \cdot a) - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a^{2} - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a^{2} - a}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $2 a^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $a$ von $11 a$ .

$\frac{a^{2} + 10 a + 15 + 9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 3.3.3

Addiere $15$ und $9$ .

$\frac{a^{2} + 10 a + 24}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 4

Faktorisiere $a^{2} + 10 a + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $10$ ist.

$4, 6$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a + 4) (a + 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 4$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 4) (a + 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 6}{(a + 1) (a + 3)}$