Algebra Beispiele

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (5 x) - \ln (x - 2)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (\frac{5 x}{x - 2})$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache $2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2}) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7}) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Schritt 3.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{2 x - 7}}{\frac{5 x}{x - 2}}) = 0$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Schritt 3.1.5.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Schritt 3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Schritt 3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5}) = 0$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $\frac{x}{2 x - 7}$ mit $\frac{x - 2}{5}$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{(2 x - 7) \cdot 5}) = 0$

Schritt 3.1.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $2 x - 7$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$

Schritt 4

Schreibe $\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}$

Schritt 5

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x (x - 2) = e^{0} (5 (2 x - 7))$

Schritt 6

Vereinfache $e^{0} (5 (2 x - 7))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x (x - 2) = 1 (5 (2 x - 7))$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $5 (2 x - 7)$ mit $1$ .

$x (x - 2) = 5 (2 x - 7)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 2) = 5 (2 x) + 5 \cdot - 7$

Schritt 6.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x (x - 2) = 10 x + 5 \cdot - 7$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$x (x - 2) = 10 x - 35$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x (x - 2) - 10 x = - 35$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Schritt 7.2.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 x - 10 x = - 35$

Schritt 7.3

Subtrahiere $10 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Schritt 8

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 12 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 12 x = - 35$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x$ aus $- 12 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Schritt 8.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 12$ heraus.

$x (x - 12) = - 35$

Schritt 9

Vereinfache $x (x - 12)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 12 = - 35$

Schritt 9.2.2

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Schritt 10

Addiere $35$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Schritt 11

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $35$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 7, - 5$

Schritt 11.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x - 5) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 13

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 14

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 5$