Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 \geq 0$

Schritt 1.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 3$

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 = 0$

Schritt 1.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 3}$

Intervallschreibweise:

$[3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 3}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $3$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{(3) - 3} \cdot 3 - 2 \sqrt{(3) - 3}}{(3) + 2}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0^{2}} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.4

Multipliziere $- 0 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.5

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0}}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0^{2}}}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \cdot 0}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 + 0}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.9

Addiere $3 + 0$ und $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0}{3 + 2}$

Schritt 2.2.1.10

Addiere $3$ und $0$ .

$f (3) = \frac{3}{3 + 2}$

Schritt 2.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$f (3) = \frac{3}{5}$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5}$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(3, \frac{3}{5})$ .

$(3, \frac{3}{5})$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $4$ in $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(4, - \frac{1}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{(4) - 3} \cdot 4 - 2 \sqrt{(4) - 3}}{(4) + 2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{1} \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Multipliziere $- 1 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.1.4

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{1}}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.1.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \cdot 1}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.1.7

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f (4) = \frac{- 1 - 2}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.1.8

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 + 2}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $4$ und $2$ .

$f (4) = \frac{- 3}{6}$

Schritt 4.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (4) = \frac{3 (- 1)}{6}$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (4) = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{(5) - 3} \cdot 5 - 2 \sqrt{(5) - 3}}{(5) + 2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{2} \cdot 5 - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{5 + 2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{5 + 2}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $5$ und $2$ .

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$ .

$y = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(3, \frac{3}{5}), (4, - 0.5), (5, - 0.99)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & \frac{3}{5} \\ 4 & - 0.5 \\ 5 & - 0.99 \end{array}$

Schritt 5