Algebra Beispiele

$\log_{6} (x + 2) + \log_{6} (x + 3) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 2) (x + 3)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x (x + 3) + 2 (x + 3)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 3 + 2 (x + 3)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\log_{6} (x^{2} + 3 x + 2 x + 6) = 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 5 x + 6) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{6} (x^{2} + 5 x + 6) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{1} = x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 5 x + 6 = 6^{1}$ um.

$x^{2} + 5 x + 6 = 6$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 5 x + 6 - 6 = 0$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 5 x + 6 - 6$ .

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$x^{2} + 5 x + 0 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $x^{2} + 5 x$ und $0$ .

$x^{2} + 5 x = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x + 5 x = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot 5 = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 5$ heraus.

$x (x + 5) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.7

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 5$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{6} (x + 2) + \log_{6} (x + 3) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 0$