Algebra Beispiele

$\log_{4} (x^{2} - 9) - \log_{4} (x + 3) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 9}{x + 3}) = 3$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 3^{2}}{x + 3}) = 3$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 3) (x - 3)}{x + 3}) = 3$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{4} (\frac{(x + 3) (x - 3)}{x + 3}) = 3$

Schritt 1.3.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$\log_{4} (x - 3) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{4} (x - 3) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{3} = x - 3$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x - 3 = 4^{3}$ um.

$x - 3 = 4^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$x - 3 = 64$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 64 + 3$

Schritt 3.3.2

Addiere $64$ und $3$ .

$x = 67$