Algebra Beispiele

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x^{2} + 2)) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Schritt 1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (x^{1 + 2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{3} (x^{3} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Schritt 1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x) = 1$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $- 2 \log_{3} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - \log_{3} (x^{2}) = 1$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 2 x$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{x^{2}}) = 1$

Schritt 3.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ heraus.

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x^{2}}) = 1$

Schritt 3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Schritt 3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Schritt 3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$

Schritt 4

Schreibe $\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x^{2} + 2}{x}$

Schritt 5

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} + 2 = 3 (x)$

Schritt 6

Multipliziere $3$ mit $x$ .

$x^{2} + 2 = 3 x$

Schritt 7

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 - 3 x = 0$

Schritt 8

Faktorisiere $x^{2} + 2 - 3 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 9

Vereinfache $(x - 2) (x - 1)$ .

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Schritt 9.1

Multipliziere $(x - 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0$

Schritt 9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 0$

Schritt 9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 0$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 13

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 1$