Algebra Beispiele

$\ln (4 r^{2}) = 3$

Schritt 1

Um nach $r$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (4 r^{2})} = e^{3}$

Schritt 2

Schreibe $\ln (4 r^{2}) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3} = 4 r^{2}$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 r^{2} = e^{3}$ um.

$4 r^{2} = e^{3}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 r^{2} = e^{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 r^{2} = e^{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 r^{2}}{4} = \frac{e^{3}}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 r^{2}}{4} = \frac{e^{3}}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$r^{2} = \frac{e^{3}}{4}$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{\frac{e^{3}}{4}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{e^{3}}{4}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{e^{3}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{4}}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $e^{2}$ aus.

$r = \pm \frac{\sqrt{e^{2} e}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 3.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \pm \frac{e \sqrt{e}}{2}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{e \sqrt{e}}{2}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{e \sqrt{e}}{2}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{e \sqrt{e}}{2}, - \frac{e \sqrt{e}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = \frac{e \sqrt{e}}{2}, - \frac{e \sqrt{e}}{2}$

Dezimalform:

$r = 2.24084453 \dots, - 2.24084453 \dots$