Algebra Beispiele

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} - 3 y}{y^{3} + 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3} - 2 y^{2} - 3 y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - 3 y}{y^{3} + 1}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - 3 y}{y^{3} + 1}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 3}{y^{3} + 1}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ heraus.

$\frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 3}{y^{3} + 1}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $y$ aus $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 3$ heraus.

$\frac{y (y^{2} - 2 y - 3)}{y^{3} + 1}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y^{2} - 2 y - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{y ((y - 3) (y + 1))}{y^{3} + 1}$

$\frac{y (y - 3) (y + 1)}{y^{3} + 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{y (y - 3) (y + 1)}{y^{3} + 1^{3}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{y (y - 3) (y + 1)}{(y + 1) (y^{2} - y \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y (y - 3) (y + 1)}{(y + 1) (y^{2} - y + 1^{2})}$

Schritt 2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{y (y - 3) (y + 1)}{(y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y - 3) (y + 1)}{(y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (y - 3)}{y^{2} - y + 1}$