Algebra Beispiele

${(2 y + 4 x^{3})}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 y)}^{4 - k} \cdot {(4 x^{3})}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 y)}^{4 - 0} \cdot {(4 x^{3})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 y)}^{4 - 1} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 y)}^{4 - 2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 y)}^{4 - 3} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 y)}^{4 - 4} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(2 y)}^{4} \cdot {(4 x^{3})}^{0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 y)}^{4}$ mit $1$ .

${(2 y)}^{4} \cdot {(4 x^{3})}^{0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$2^{4} y^{4} \cdot {(4 x^{3})}^{0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 y^{4} \cdot {(4 x^{3})}^{0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $4 x^{3}$ an.

$16 y^{4} \cdot (4^{0} {(x^{3})}^{0}) + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 \cdot 4^{0} y^{4} {(x^{3})}^{0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$16 \cdot 1 y^{4} {(x^{3})}^{0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16 y^{4} {(x^{3})}^{0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{0}$ .

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Schritt 4.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y^{4} x^{3 \cdot 0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$16 y^{4} x^{0} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$16 y^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16 y^{4} + 4 \cdot {(2 y)}^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$16 y^{4} + 4 \cdot (2^{3} y^{3}) \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.12

Potenziere $2$ mit $3$ .

$16 y^{4} + 4 \cdot (8 y^{3}) \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$16 y^{4} + 32 y^{3} \cdot {(4 x^{3})}^{1} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.14

Vereinfache.

$16 y^{4} + 32 y^{3} \cdot (4 x^{3}) + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.15

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 y^{4} + 32 \cdot 4 y^{3} x^{3} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $32$ mit $4$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 6 \cdot {(2 y)}^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.17

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 6 \cdot (2^{2} y^{2}) \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.18

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 6 \cdot (4 y^{2}) \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 24 y^{2} \cdot {(4 x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.20

Wende die Produktregel auf $4 x^{3}$ an.

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 24 y^{2} \cdot (4^{2} {(x^{3})}^{2}) + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.21

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 24 \cdot 4^{2} y^{2} {(x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.22

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 24 \cdot 16 y^{2} {(x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $24$ mit $16$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} {(x^{3})}^{2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.24

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.24.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{3 \cdot 2} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.24.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 4 \cdot {(2 y)}^{1} \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.25

Vereinfache.

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 4 \cdot (2 y) \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.26

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 8 y \cdot {(4 x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.27

Wende die Produktregel auf $4 x^{3}$ an.

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 8 y \cdot (4^{3} {(x^{3})}^{3}) + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.28

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 8 \cdot 4^{3} y {(x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.29

Potenziere $4$ mit $3$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 8 \cdot 64 y {(x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.30

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y {(x^{3})}^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.31

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{3}$ .

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Schritt 4.31.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{3 \cdot 3} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.31.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + 1 \cdot {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.32

Mutltipliziere ${(2 y)}^{0}$ mit $1$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + {(2 y)}^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.33

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + 2^{0} y^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.34

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + 1 y^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.35

Mutltipliziere $y^{0}$ mit $1$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + y^{0} \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.36

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + 1 \cdot {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.37

Mutltipliziere ${(4 x^{3})}^{4}$ mit $1$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + {(4 x^{3})}^{4}$

Schritt 4.38

Wende die Produktregel auf $4 x^{3}$ an.

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + 4^{4} {(x^{3})}^{4}$

Schritt 4.39

Potenziere $4$ mit $4$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + 256 {(x^{3})}^{4}$

Schritt 4.40

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{4}$ .

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Schritt 4.40.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + 256 x^{3 \cdot 4}$

Schritt 4.40.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$16 y^{4} + 128 y^{3} x^{3} + 384 y^{2} x^{6} + 512 y x^{9} + 256 x^{12}$