Algebra Beispiele

$2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2} - 125 x - 500$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- 125 x - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere $- 125$ aus $- 125 x - 500$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 125$ aus $- 125 x$ heraus.

$- 125 (x) - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 125$ aus $- 500$ heraus.

$- 125 (x) - 125 (4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 125$ aus $- 125 (x) - 125 (4)$ heraus.

$- 125 (x + 4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $23 x^{3}$ heraus.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + 60 x^{2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $60 x^{2}$ heraus.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + x^{2} \cdot 60$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x)$ heraus.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$ heraus.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x + 60)$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 60 = 120$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 x$ heraus.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 (x) + 60)$

Schritt 4.1.1.2

Schreibe $23$ um als $8$ plus $15$

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + (8 + 15) x + 60)$

Schritt 4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 8 x + 15 x + 60)$

Schritt 4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((2 x^{2} + 8 x) + 15 x + 60)$

Schritt 4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x (x + 4) + 15 (x + 4))$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 4$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((x + 4) (2 x + 15))$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Schritt 5

Faktorisiere $x + 4$ aus $- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $- 125 (x + 4)$ heraus.

$(x + 4) \cdot - 125 + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ heraus.

$(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$ heraus.

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x + 15))$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 15)$

Schritt 7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 15)$

Schritt 8

Bringe $15$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + 15 \cdot x^{2})$

Schritt 9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Bewege $x$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Schritt 9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{1 + 2} + 15 \cdot x^{2})$

Schritt 9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 \cdot x^{2})$

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 x^{2})$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$(x + 4) (2 x^{3} + 15 x^{2} - 125)$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Schreibe $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 11.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 11.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 125, \pm 62.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 25, \pm 12.5$

Schritt 11.1.1.3

Setze $- 5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 11.1.1.3.1

Setze $- 5$ in das Polynom ein.

$2 {(- 5)}^{3} + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Schritt 11.1.1.3.2

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$2 \cdot - 125 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Schritt 11.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 125$ .

$- 250 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Schritt 11.1.1.3.4

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- 250 + 15 \cdot 25 - 125$

Schritt 11.1.1.3.5

Mutltipliziere $15$ mit $25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Schritt 11.1.1.3.6

Addiere $- 250$ und $375$ .

$125 - 125$

Schritt 11.1.1.3.7

Subtrahiere $125$ von $125$ .

$0$

Schritt 11.1.1.4

Da $- 5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} - 125}{x + 5}$

Schritt 11.1.1.5

Dividiere $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ durch $x + 5$ .

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Schritt 11.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$0 x$

$125$

Schritt 11.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$

Schritt 11.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			+	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Schritt 11.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Schritt 11.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Schritt 11.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 11.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 11.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Schritt 11.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{2} + 25 x$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Schritt 11.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$

Schritt 11.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Schritt 11.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 25 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Schritt 11.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

Schritt 11.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 25 x - 125$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

Schritt 11.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$
										$0$

Schritt 11.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + 5 x - 25$

Schritt 11.1.1.6

Schreibe $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 x - 25))$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 11.1.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 (x) - 25))$

Schritt 11.1.2.1.1.2

Schreibe $5$ um als $- 5$ plus $10$

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + (- 5 + 10) x - 25))$

Schritt 11.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} - 5 x + 10 x - 25))$

Schritt 11.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x^{2} - 5 x) + 10 x - 25))$

Schritt 11.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 4) ((x + 5) (x (2 x - 5) + 5 (2 x - 5)))$

Schritt 11.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 5$ .

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x - 5) (x + 5)))$

Schritt 11.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x - 5) (x + 5))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 4) (x + 5) (2 x - 5) (x + 5)$

Schritt 12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 12.1

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} (x + 5)) (2 x - 5)$

Schritt 12.2

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}) (2 x - 5)$

Schritt 12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 4) {(x + 5)}^{1 + 1} (2 x - 5)$

Schritt 12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 4) {(x + 5)}^{2} (2 x - 5)$