Algebra Beispiele

$x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{13}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + \frac{1}{x} - \frac{13}{6} = 0$

Schritt 2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{13}{6} = 0$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot x + 1}{x} - \frac{13}{6} = 0$

Schritt 4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x} - \frac{13}{6} = 0$

Schritt 5

Um $\frac{x^{2} + 1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{13}{6} = 0$

Schritt 6

Um $- \frac{13}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{13}{6} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Schritt 7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 1}{x}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 6}{x \cdot 6} - \frac{13}{6} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{13}{6}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 6}{x \cdot 6} - \frac{13 x}{6 x} = 0$

Schritt 7.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 6$ um.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 6}{6 x} - \frac{13 x}{6 x} = 0$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 6 - 13 x}{6 x} = 0$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \cdot 6 + 1 \cdot 6 - 13 x}{6 x} = 0$

Schritt 9.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot x^{2} + 1 \cdot 6 - 13 x}{6 x} = 0$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 - 13 x}{6 x} = 0$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x^{2} - 13 x + 6}{6 x} = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 9.5.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$\frac{6 x^{2} - 13 x + 6}{6 x} = 0$

Schritt 9.5.1.2

Schreibe $- 13$ um als $- 4$ plus $- 9$

$\frac{6 x^{2} + (- 4 - 9) x + 6}{6 x} = 0$

Schritt 9.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 9 x + 6}{6 x} = 0$

Schritt 9.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(6 x^{2} - 4 x) - 9 x + 6}{6 x} = 0$

Schritt 9.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2)}{6 x} = 0$

Schritt 9.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x - 3)}{6 x} = 0$

Schritt 10

Setze den Zähler gleich Null.

$(3 x - 2) (2 x - 3) = 0$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 11.2

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 11.2.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 11.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 11.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 11.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 11.3

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 11.3.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 11.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 11.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 11.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 11.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 2) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{3}, \frac{3}{2}$