Algebra Beispiele

$4 x^{4} + 23 x^{2} = 6$

Schritt 1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{4} + 23 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 {(x^{2})}^{2} + 23 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 u^{2} + 23 u - 6 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 6 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 u$ heraus.

$4 u^{2} + 23 (u) - 6 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $23$ um als $- 1$ plus $24$

$4 u^{2} + (- 1 + 24) u - 6 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 1 u + 24 u - 6 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 1 u) + 24 u - 6 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 1) + 6 (4 u - 1) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 6) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 6

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 10

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 11

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 12

Setze $x^{2} + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x^{2} + 6$ gleich $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 6$

Schritt 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Schritt 12.2.3.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Schritt 12.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (6)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Schritt 12.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{6}$

Schritt 12.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 12.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 12.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$