Algebra Beispiele

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 1 = 0$

Schritt 2

Schreibe ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ als ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ um.

${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 1 = 0$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ und $b = 1$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ mit $1$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1) = 0$

Schritt 6

Vereinfache $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1)$ .

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Schritt 6.1

Multipliziere $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1$ und $- 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ neu an.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ von $1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 0 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Addiere ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ und $0$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1

Multipliziere ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ mit ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.1.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.2

Multipliziere ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ mit ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1 + 1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.2.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 (1)}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe $- 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ als $- {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ um.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Schritt 6.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

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Schritt 6.2.3.1

Subtrahiere ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ von ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 1 = 0$

Schritt 6.2.3.2

Addiere ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ und $0$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 1 = 0$

Schritt 7

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 1$

Schritt 8

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{1} = 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache.

$x - 2 = 1^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x - 2 = 1$

Schritt 10

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + 2$

Schritt 10.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x = 3$