Algebra Beispiele

$x^{10} - 31 x^{5} - 32 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{10}$ als ${(x^{5})}^{2}$ um.

${(x^{5})}^{2} - 31 x^{5} - 32 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{5}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{5}$ .

$u^{2} - 31 u - 32 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 31 u - 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 32$ und deren Summe $- 31$ ist.

$- 32, 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 32) (u + 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{5} - 32 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{5} - 32$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{5} - 32$ gleich $0$ .

$x^{5} - 32 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{5} - 32 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $32$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{5} = 32$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[5]{32}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\sqrt[5]{32}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{2^{5}}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 2$

Schritt 4

Setze $x^{5} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{5} + 1$ gleich $0$ .

$x^{5} + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{5} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{5} = - 1$

Schritt 4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[5]{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\sqrt[5]{- 1}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

Schritt 4.2.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = - 1$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 6