Algebra Beispiele

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} = 5$

Schritt 1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} - 5 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} - 5$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{4 x}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - 5 = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 5 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 2) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x}{x - 2}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x \cdot x}{(x - 2) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 x \cdot x}{(x - 2) x} + \frac{x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) x$ um.

$\frac{4 x \cdot x}{x (x - 2)} + \frac{x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x \cdot x + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Schritt 2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Schritt 2.6

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} - 5 \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} + \frac{- 5 (x (x - 2))}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 (x (x - 2))}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x^{2} + 10 x}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.4

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x - 2 + 10 x}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9.5

Addiere $x$ und $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 11 x - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 11 x - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $11 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 11 x) - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 11 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 1 (2)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 11 x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 11 x + 2)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.15

Schreibe $- (x^{2} - 11 x + 2)$ als $- 1 (x^{2} - 11 x + 2)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 11 x + 2)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 2.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 11 x + 2}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 11 x + 2 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 11$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Schritt 4.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Schritt 4.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}, \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}, \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Dezimalform:

$x = 10.81507290 \dots, 0.18492709 \dots$