Algebra Beispiele

$\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{3 x - 2}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} - \frac{3 x - 2}{4}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{5 x - 2}{2}$ mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{5 x - 2}{2} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{19 x + 6}{2 x} - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{5 x - 2}{2}$ mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - \frac{19 x + 6}{2 x} - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{19 x + 6}{2 x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - (\frac{19 x + 6}{2 x} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{19 x + 6}{2 x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{3 x - 2}{4}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - (\frac{3 x - 2}{4} \cdot \frac{x}{x}) = 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{3 x - 2}{4}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $2 (2 x)$ um.

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 \cdot 2 x} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{4 x} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.1.9

Stelle die Faktoren von $2 x \cdot 2$ um.

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{4 x} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 \cdot 2 x} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{4 x} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{4 x} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(5 x - 2) (2 x) - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (2 x) - 2 (2 x) - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 \cdot 2 x \cdot x - 2 (2 x) - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{5 \cdot 2 x \cdot x - 4 x - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 \cdot 2 (x \cdot x) - 4 x - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 \cdot 2 x^{2} - 4 x - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 x^{2} - 4 x + (- (19 x) - 1 \cdot 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x + (- 19 x - 1 \cdot 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x + (- 19 x - 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 19 x \cdot 2 - 6 \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 19$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 6 \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 + (- (3 x) - - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 + (- 3 x - - 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 + (- 3 x + 2) x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 - 3 x \cdot x + 2 x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.15

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.15.1

Bewege $x$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 - 3 (x \cdot x) + 2 x}{4 x} = 0$

Schritt 2.3.15.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 - 3 x^{2} + 2 x}{4 x} = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 + 2 x}{4 x} = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $38 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 42 x - 12 + 2 x}{4 x} = 0$

Schritt 2.6

Addiere $- 42 x$ und $2 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 40 x - 12}{4 x} = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 12 = - 84$ und deren Summe gleich $b = - 40$ ist.

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $- 40$ aus $- 40 x$ heraus.

$\frac{7 x^{2} - 40 (x) - 12}{4 x} = 0$

Schritt 2.7.1.2

Schreibe $- 40$ um als $2$ plus $- 42$

$\frac{7 x^{2} + (2 - 42) x - 12}{4 x} = 0$

Schritt 2.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x^{2} + 2 x - 42 x - 12}{4 x} = 0$

Schritt 2.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(7 x^{2} + 2 x) - 42 x - 12}{4 x} = 0$

Schritt 2.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (7 x + 2) - 6 (7 x + 2)}{4 x} = 0$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x + 2$ .

$\frac{(7 x + 2) (x - 6)}{4 x} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(7 x + 2) (x - 6) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Setze $7 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $7 x + 2$ gleich $0$ .

$7 x + 2 = 0$

Schritt 4.2.2

Löse $7 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = - 2$

Schritt 4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 2$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 2$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Schritt 4.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{7}$

Schritt 4.3

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x + 2) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{7}, 6$