Algebra Beispiele

$t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

Schritt 1

Schreibe $t^{\frac{1}{2}}$ als ${(t^{\frac{1}{4}})}^{2}$ um.

${(t^{\frac{1}{4}})}^{2} - 2 t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = t^{\frac{1}{4}}$ . Ersetze $u$ für alle $t^{\frac{1}{4}}$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $t^{\frac{1}{4}}$ .

${(t^{\frac{1}{4}} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 5

Vereinfache ${(t^{\frac{1}{4}} - 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe ${(t^{\frac{1}{4}} - 1)}^{2}$ als $(t^{\frac{1}{4}} - 1) (t^{\frac{1}{4}} - 1)$ um.

$(t^{\frac{1}{4}} - 1) (t^{\frac{1}{4}} - 1) = 0$

Schritt 5.2

Multipliziere $(t^{\frac{1}{4}} - 1) (t^{\frac{1}{4}} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{1}{4}} (t^{\frac{1}{4}} - 1) - 1 (t^{\frac{1}{4}} - 1) = 0$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{1}{4}} t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 (t^{\frac{1}{4}} - 1) = 0$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{1}{4}} t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Multipliziere $t^{\frac{1}{4}}$ mit $t^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{1 + 1}{4}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$t^{\frac{2}{4}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.3.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$t^{\frac{2 (1)}{4}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{4}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot t^{\frac{1}{4}} - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.3

Schreibe $- 1 t^{\frac{1}{4}}$ als $- t^{\frac{1}{4}}$ um.

$t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{4}} - 1 t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $- 1 t^{\frac{1}{4}}$ als $- t^{\frac{1}{4}}$ um.

$t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{4}} - t^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{4}} - t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $t^{\frac{1}{4}}$ von $- t^{\frac{1}{4}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

Schritt 6

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$t = 1$

Schritt 7