Algebra Beispiele

$\frac{1}{x - 4} - \frac{3 x}{x^{2} - 16} = \frac{2}{x + 4}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2}{x + 4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x - 4} - \frac{3 x}{x^{2} - 16} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x - 4} - \frac{3 x}{x^{2} - 16} - \frac{2}{x + 4}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{1}{x - 4} - \frac{3 x}{x^{2} - 4^{2}} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{1}{x - 4} - \frac{3 x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{x - 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{3 x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 4) (x + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 4}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 4}{(x - 4) (x + 4)} - \frac{3 x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 4) (x + 4)$ um.

$\frac{x + 4}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{3 x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 4 - 3 x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$\frac{- 2 x + 4}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4$ heraus.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 4}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (2)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} = 0$

Schritt 2.7

Um $- \frac{2}{x + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 (- x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 4}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 (- x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (- x + 2) - 2 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x + 2) - 2 (x - 4)$ heraus.

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Schritt 2.10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x - 4)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2) + 2 (- (x - 4))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x + 2) + 2 (- (x - 4))$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2 - (x - 4))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x + 2 - x - - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{2 (- x + 2 - x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.4

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{2 (- 2 x + 2 + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.5

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{2 (- 2 x + 6)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 6$ heraus.

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Schritt 2.10.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (2 (- x) + 6)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.6.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (2 (- x) + 2 (3))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (3)$ heraus.

$\frac{2 (2 (- x + 3))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

$\frac{2 \cdot 2 (- x + 3)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (- x + 3)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- (x) + 3)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.12

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 3))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{4 (- (x - 3))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.14

Schreibe $- (x - 3)$ als $- 1 (x - 3)$ um.

$\frac{4 (- 1 (x - 3))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (x - 3)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x - 3) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 3) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 3) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$