Algebra Beispiele

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} = \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 7$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{14}{y + 7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{2}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y + 7) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{14}{y + 7}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{y}$ mit $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(y + 7) y$ um.

$\frac{14 y}{y (y + 7)} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 y + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $14 y + 2 (y + 7)$ heraus.

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Schritt 2.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14 y$ heraus.

$\frac{2 (7 y) + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (7 y) + 2 (y + 7)$ heraus.

$\frac{2 (7 y + y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $7 y$ und $y$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.7

Um $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.8

Um $- \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (y + 7) (y - 7)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ mit $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $\frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Schritt 2.9.3

Stelle die Faktoren von $(y + 7) (y - 7) y$ um.

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (8 y) + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{(16 y + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{(16 y + 14) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.4

Multipliziere $(16 y + 14) (y - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.11.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 y (y - 7) + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.11.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.5.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.5.1.1.1

Bewege $y$ .

$\frac{16 (y \cdot y) + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{16 y^{2} + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $16$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5.1.3

Mutltipliziere $14$ mit $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.5.2

Addiere $- 112 y$ und $14 y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- (9 y) - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.7

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y \cdot y + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.10

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.10.1

Bewege $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 (y \cdot y) + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.10.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y^{2} + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.11

Subtrahiere $9 y^{2}$ von $16 y^{2}$ .

$\frac{7 y^{2} - 98 y - 98 + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.12

Addiere $- 98 y$ und $7 y$ .

$\frac{7 y^{2} - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13

Schreibe $7 y^{2} - 91 y - 98$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.11.13.1

Faktorisiere $7$ aus $7 y^{2} - 91 y - 98$ heraus.

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Schritt 2.11.13.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 y^{2}$ heraus.

$\frac{7 (y^{2}) - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 91 y$ heraus.

$\frac{7 (y^{2}) + 7 (- 13 y) - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.1.3

Faktorisiere $7$ aus $- 98$ heraus.

$\frac{7 y^{2} + 7 (- 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.1.4

Faktorisiere $7$ aus $7 y^{2} + 7 (- 13 y)$ heraus.

$\frac{7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.1.5

Faktorisiere $7$ aus $7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14$ heraus.

$\frac{7 (y^{2} - 13 y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 2.11.13.2

Faktorisiere $y^{2} - 13 y - 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.11.13.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 14$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 14, 1$

Schritt 2.11.13.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{7 ((y - 14) (y + 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (y - 14) (y + 1)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$7 (y - 14) (y + 1) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 14 = 0$

$y + 1 = 0$

Schritt 4.2

Setze $y - 14$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $y - 14$ gleich $0$ .

$y - 14 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 14$

Schritt 4.3

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $7 (y - 14) (y + 1) = 0$ wahr machen.

$y = 14, - 1$