Algebra Beispiele

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{2}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 1}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 2}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 1)$ um.

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 4 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 4 - x - 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x - 4 - 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.6

Um $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2.7

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 2) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{(x + 1) (x - 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{(x + 1) (x - 2) \cdot 2} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 ((x + 1) (x - 2))} = 0$

Schritt 2.8.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) (x - 2) \cdot 2$ um.

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{2 (x + 1) (x - 2)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 ((x + 1) (x - 2))} = 0$

Schritt 2.8.4

Stelle die Faktoren von $2 ((x + 1) (x - 2))$ um.

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{2 (x + 1) (x - 2)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 5) \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 2 - 5 \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x - 5 \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot x - 10 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4

Multipliziere $(x + 1) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 10 + x (x - 2) + 1 (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 10 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 10 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 x + x - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5.2

Addiere $- 2 x$ und $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - x - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x - 10 + x^{2} - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.7

Subtrahiere $2$ von $- 10$ .

$\frac{x + x^{2} - 12}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.8

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + x - 12}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.9

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.10.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 2.10.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.3

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 4$