Algebra Beispiele

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 6}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{x}{x - 2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{x - 6}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{1}{x - 6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 6, - 2$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 2}$ mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - (\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}) - \frac{1}{x - 6} = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 2}$ mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 6}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - (\frac{1}{x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 6}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - \frac{x - 2}{(x - 6) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - x (x - 6) - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - x \cdot x - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 - (x \cdot x) - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 - x^{2} - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - x - - 2}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - x + 2}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.5

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x - x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $x$ von $6 x$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} + 5 (x) + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 6) x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 6 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 6 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 1) - 6 (- x - 1)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- x - 1) (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x - 1}{x - 2} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 1}{x - 2} = 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (1)}{x - 2} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x + 1)}{x - 2} = 0$

Schritt 2.12

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (x + 1)}{x - 2} = 0$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 1}{x - 2} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$