Algebra Beispiele

$x^{5} = x^{3} + 12 x$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{5} - x^{3} = 12 x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{5} - x^{3} - 12 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - x^{3} - 12 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 12 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ heraus.

$x (x^{4} - x^{2} - 12) = 0$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) = 0$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 12) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $u^{2} - u - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 8

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 10

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 11

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 12

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 13

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 13.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 13.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 13.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 13.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 13.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 13.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$