Algebra Beispiele

$2 = \frac{- 2}{x - 7} + \frac{4}{{(x - 7)}^{2}}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{- 2}{x - 7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 - \frac{- 2}{x - 7} = \frac{4}{{(x - 7)}^{2}}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{4}{{(x - 7)}^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 - \frac{- 2}{x - 7} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 - \frac{- 2}{x - 7} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2}{1} - \frac{- 2}{x - 7} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{{(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}} - \frac{- 2}{x - 7} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{{(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{2 {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}} - \frac{- 2}{x - 7} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{- 2}{x - 7}$ mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{2 {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}} - (\frac{- 2}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{x - 7}) - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{x - 7}$ mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{2 {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}} - \frac{- 2 (x - 7)}{(x - 7) (x - 7)} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.6

Potenziere $x - 7$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}} - \frac{- 2 (x - 7)}{{(x - 7)}^{1} (x - 7)} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.7

Potenziere $x - 7$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}} - \frac{- 2 (x - 7)}{{(x - 7)}^{1} {(x - 7)}^{1}} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}} - \frac{- 2 (x - 7)}{{(x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2}} - \frac{- 2 (x - 7)}{{(x - 7)}^{2}} - \frac{4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 {(x - 7)}^{2} + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${(x - 7)}^{2}$ als $(x - 7) (x - 7)$ um.

$\frac{2 ((x - 7) (x - 7)) + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(x - 7) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x (x - 7) - 7 (x - 7)) + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$\frac{2 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $7 x$ von $- 7 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 14 x + 49) + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 49 + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 28 x + 2 \cdot 49 + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$\frac{2 x^{2} - 28 x + 98 + 2 (x - 7) - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 28 x + 98 + 2 x + 2 \cdot - 7 - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - 28 x + 98 + 2 x - 14 - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.4

Addiere $- 28 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 98 - 14 - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $14$ von $98$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 84 - 4}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $4$ von $84$ .

$\frac{2 x^{2} - 26 x + 80}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 26 x + 80$ heraus.

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) - 26 x + 80}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 26 x$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 13 x) + 80}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.3

Faktorisiere $2$ aus $80$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 13 x) + 2 \cdot 40}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 13 x)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 13 x) + 2 \cdot 40}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 13 x) + 2 \cdot 40$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 13 x + 40)}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 13 x + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.7.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 8, - 5$

Schritt 2.7.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 ((x - 8) (x - 5))}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

$\frac{2 (x - 8) (x - 5)}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x - 8) (x - 5) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 4.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 8) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 5$