Algebra Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} - 3$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 3 = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Schritt 2.5

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Schritt 2.7

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - 1) - 3 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 2 + (- 3 x - 3 \cdot 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{2 x - 2 + (- 3 x - 6) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5

Multipliziere $(- 3 x - 6) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 2 - 3 x (x - 2) - 6 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 - 6 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 6 x - 6 x + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6.2

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 0 + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.6.3

Addiere $- 3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.7

Addiere $- 2$ und $12$ .

$\frac{2 x - 3 x^{2} + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10.8

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x^{2} + 2 x + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 x + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x) + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.14

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 10)$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x - 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.16

Schreibe $- (3 x^{2} - 2 x - 10)$ als $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 10)$ um.

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x - 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x^{2} - 2 x - 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x^{2} - 2 x - 10 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = - 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $4$ und $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.3

Addiere $4$ und $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $4$ und $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}, \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}, \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Dezimalform:

$x = 2.18925478 \dots, - 1.52258812 \dots$