Algebra Beispiele

$x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2

Schreibe $\frac{1}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{\frac{1}{3}}$ und $b = \frac{1}{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2}) (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 4

Um $x^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 5

Kombiniere $x^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}) (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 1}{2} \cdot (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} \cdot (x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 8

Um $x^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} \cdot (x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 9

Kombiniere $x^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} \cdot (\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

Schritt 11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{3}} - 1}{2} = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} = 0$

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} - 1}{2} = 0$

Schritt 13

Setze $\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2}$ gleich $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} = 0$

Schritt 13.2

Löse $\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Schritt 13.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 13.2.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 13.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.3.1.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 13.2.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 13.2.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$8 x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 13.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$8 x = - 1$

Schritt 13.2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 1$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 13.2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 13.2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 13.2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Schritt 13.2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{8}$

Schritt 14

Setze $\frac{2 x^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $\frac{2 x^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$ gleich $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} - 1}{2} = 0$

Schritt 14.2

Löse $\frac{2 x^{\frac{1}{3}} - 1}{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Schritt 14.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{\frac{1}{3}} = 1$

Schritt 14.2.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 14.2.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 14.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.3.1.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 14.2.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{1} = 1^{3}$

Schritt 14.2.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$8 x = 1^{3}$

Schritt 14.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 x = 1$

Schritt 14.2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 14.2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 14.2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 14.2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{3}} - 1}{2} = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}$