Algebra Beispiele

$\frac{x}{x - 8} + \frac{6}{x - 2} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 10 x + 16}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{x^{2} - 10 x + 16}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{x - 8} + \frac{6}{x - 2} - \frac{x^{2}}{x^{2} - 10 x + 16} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x - 8} + \frac{6}{x - 2} - \frac{x^{2}}{x^{2} - 10 x + 16}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 8, - 2$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x}{x - 8} + \frac{6}{x - 2} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{x}{x - 8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{6}{x - 2} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{6}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x}{x - 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{6}{x - 2} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 8) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 8}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{6}{x - 2} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{6}{x - 2}$ mit $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{6 (x - 8)}{(x - 2) (x - 8)} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 8) (x - 2)$ um.

$\frac{x (x - 2)}{(x - 2) (x - 8)} + \frac{6 (x - 8)}{(x - 2) (x - 8)} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 2) + 6 (x - 8)}{(x - 2) (x - 8)} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 2) + 6 (x - 8) - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 6 (x - 8) - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 6 (x - 8) - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.7.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 6 (x - 8) - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x + 6 x + 6 \cdot - 8 - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 6 x - 48 - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x + 6 x - 48 - x^{2}$ .

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Schritt 2.8.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 6 x - 48 + 0}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.8.2

Addiere $- 2 x + 6 x - 48$ und $0$ .

$\frac{- 2 x + 6 x - 48}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.9

Addiere $- 2 x$ und $6 x$ .

$\frac{4 x - 48}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 48$ heraus.

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{4 (x) - 48}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere $4$ aus $- 48$ heraus.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 12}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 2.10.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot - 12$ heraus.

$\frac{4 (x - 12)}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x - 12) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 12) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 12) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x - 12)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 12)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $x - 12$ durch $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{4}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$