Algebra Beispiele

$\log_{2} (2 m) > \log_{2} (m + 5)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{2} (2 m) = \log_{2} (m + 5)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 m = m + 5$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die $m$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $m$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 m - m = 5$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $m$ von $2 m$ .

$m = 5$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{2} (\frac{2 m}{m + 5})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{2} (\frac{2 m}{m + 5})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{2 m}{m + 5} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 m = 0$

$m + 5 = 0$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 m = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 m = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 m}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 m}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $m$ durch $1$ .

$m = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$m = 0$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m = - 5$

Schritt 3.2.4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$m = 0$

$m = - 5$

Schritt 3.2.5

Fasse die Lösungen zusammen.

$m = 0, - 5$

Schritt 3.2.6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 m}{m + 5}$ .

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Schritt 3.2.6.1

Setze den Nenner in $\frac{2 m}{m + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$m + 5 = 0$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m = - 5$

Schritt 3.2.6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $m$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 3.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$m < - 5$

$- 5 < m < 0$

$m > 0$

Schritt 3.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $m < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $m < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$m = - 8$

Schritt 3.2.8.1.2

Ersetze $m$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 8)}{(- 8) + 5} > 0$

Schritt 3.2.8.1.3

Die linke Seite $5.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < m < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < m < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$m = - 2$

Schritt 3.2.8.2.2

Ersetze $m$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 2)}{(- 2) + 5} > 0$

Schritt 3.2.8.2.3

Die linke Seite $- 1.\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $m > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $m > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$m = 2$

Schritt 3.2.8.3.2

Ersetze $m$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (2)}{(2) + 5} > 0$

Schritt 3.2.8.3.3

Die linke Seite $0.\overline{571428}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$m < - 5$ Wahr

$- 5 < m < 0$ Falsch

$m > 0$ Wahr

$m < - 5$ Wahr

$- 5 < m < 0$ Falsch

$m > 0$ Wahr

Schritt 3.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$m < - 5$ oder $m > 0$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{2 m}{m + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$m + 5 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m = - 5$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $m$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)$

Schritt 4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$m > 5$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$m > 5$

Intervallschreibweise:

$(5, \infty)$

Schritt 6