Algebra Beispiele

$\frac{x}{x - y} - \frac{2 x}{x + y} - \frac{2 x y}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{x}{x - y} - \frac{2 x}{x + y} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{2 x}{x + y} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 3

Um $- \frac{2 x}{x + y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{2 x}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - y) (x + y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - y}$ mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{2 x}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x + y}$ mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{2 x (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - y) (x + y)$ um.

$\frac{x (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{2 x (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + y) - 2 x (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + y) - 2 x (x - y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x y - 2 x (x - y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x (x - y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x y - 2 x \cdot x - 2 x (- y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 (x \cdot x) - 2 x (- y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2} - 2 x (- y) - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x y - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2} + 2 x y - 2 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + x y - 2 x^{2} + 2 x y - 2 x y$ .

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2} + 0}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.1.2

Addiere $x^{2} + x y - 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 x^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + x y$ heraus.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x) + x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x (- x) + x (y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x (y)$ heraus.

$\frac{x (- x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + y$ und $x - y$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{x (- (x) - 1 (- y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{x (- (x - y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.4.4

Schreibe $- (x - y)$ als $- 1 (x - y)$ um.

$\frac{x (- 1 (x - y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 1 (x - y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot (- 1)}{x + y}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{x + y}$

Schritt 7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{x + y}$