Algebra Beispiele

$\sqrt{x + 2} \leq x - 10$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x + 2}}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} \leq {(x - 10)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 2 \leq {(x - 10)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x - 10)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x - 10)}^{2}$ als $(x - 10) (x - 10)$ um.

$x + 2 \leq (x - 10) (x - 10)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x - 10) (x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 \leq x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 2 \leq x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 10$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 20 x + 100$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x^{2} - 20 x + 100 \geq x + 2$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 20 x + 100 - x \geq 2$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 20 x$ .

$x^{2} - 21 x + 100 \geq 2$

Schritt 3.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 21 x + 100 = 2$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 21 x + 100 - 2 = 0$

Schritt 3.5

Subtrahiere $2$ von $100$ .

$x^{2} - 21 x + 98 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere $x^{2} - 21 x + 98$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $98$ und deren Summe $- 21$ ist.

$- 14, - 7$

Schritt 3.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 14) (x - 7) = 0$

Schritt 3.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 3.8

Setze $x - 14$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x - 14$ gleich $0$ .

$x - 14 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 14$

Schritt 3.9

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 3.9.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 14) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 14, 7$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x + 2} - x + 10$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 \geq 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 2, \infty)$

Schritt 5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 14$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \geq 14$

Intervallschreibweise:

$[14, \infty)$

Schritt 7