Algebra Beispiele

$x^{2} - y^{2} > 9$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- y^{2} > 9 - x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} > 9 - x^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Term in $- y^{2} > 9 - x^{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y^{2}}{- 1} < \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} < \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} < \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $9$ durch $- 1$ .

$y^{2} < - 9 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} < - 9 + \frac{x^{2}}{1}$

Schritt 2.3.1.3

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} < - 9 + x^{2}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} < \sqrt{- 9 + x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | < \sqrt{- 9 + x^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\sqrt{- 9 + x^{2}}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| y | < \sqrt{- 3^{2} + x^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $- 3^{2}$ und $x^{2}$ um.

$| y | < \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$| y | < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5

Schreibe $| y | < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y \geq 0$

Schritt 5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y$ nicht negativ ist.

$y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y \geq 0$ .

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Schritt 5.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1.2.1

Vereinfache $(x + 3) (x - 3)$ .

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Schritt 5.3.1.2.1.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 3) + 3 (x - 3) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.1.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.3.1.2.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.1.2.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.1.2.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$x \cdot x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$x^{2} - 9 \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.2

Addiere $9$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 9$

Schritt 5.3.1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Schritt 5.3.1.2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.3.1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Schritt 5.3.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1.2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

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Schritt 5.3.1.2.4.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 3 |$

Schritt 5.3.1.2.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | \geq 3$

Schritt 5.3.1.2.5

Schreibe $| x | \geq 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.3.1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 3$

Schritt 5.3.1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.3.1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 3$

Schritt 5.3.1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.3.1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 3$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Schritt 5.3.1.2.7

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1.2.7.1

Teile jeden Term in $- x \geq 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.2.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1.2.7.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x \leq - 3$

Schritt 5.3.1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 3$

Schritt 5.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Schritt 5.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq 0$ und $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$ .

$y \geq 3$

Schritt 5.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y < 0$

Schritt 5.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y$ negativ ist.

$- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y < 0$ .

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Schritt 5.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

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Schritt 5.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Schritt 5.6.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.6.1.2.1

Vereinfache $(x + 3) (x - 3)$ .

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Schritt 5.6.1.2.1.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 3) + 3 (x - 3) \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.6.1.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.6.1.2.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.1.2.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.1.2.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$x \cdot x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$x^{2} - 9 \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.2

Addiere $9$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 9$

Schritt 5.6.1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Schritt 5.6.1.2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.6.1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.1.2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Schritt 5.6.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.1.2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

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Schritt 5.6.1.2.4.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Schritt 5.6.1.2.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 3 |$

Schritt 5.6.1.2.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | \geq 3$

Schritt 5.6.1.2.5

Schreibe $| x | \geq 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.6.1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.6.1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 3$

Schritt 5.6.1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.6.1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 3$

Schritt 5.6.1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.6.1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 3$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Schritt 5.6.1.2.7

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1.2.7.1

Teile jeden Term in $- x \geq 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 5.6.1.2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.1.2.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 5.6.1.2.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 5.6.1.2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.1.2.7.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x \leq - 3$

Schritt 5.6.1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 3$

Schritt 5.6.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Schritt 5.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < 0$ und $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$ .

$y \leq - 3$

Schritt 5.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)} & y \geq 3 \\ - y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)} & y \leq - 3 \end{cases}$

Schritt 6

Bestimme die Schnittmenge von $y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ und $y \geq 3$ .

$3 \leq y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 7

Löse $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ , wenn $y \leq - 3$ ergibt.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Teile jeden Term in $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} > \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{- 1}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} > \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{- 1}$

Schritt 7.1.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y > \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{- 1}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{- 1}$ .

$y > - 1 \cdot \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ als $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ um.

$y > - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 7.2

Bestimme die Schnittmenge von $y > - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ und $y \leq - 3$ .

$- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} < y \leq - 3$

Schritt 8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$3 \leq y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ oder $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} < y \leq - 3$

Schritt 9